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俞正强:知识是如何被教“活”的? | 关注

人民教育 2022-07-18

The following article is from 中国教师 Author 俞正强



民小编说


学生学习,固然希望学得又轻松又有效果,可以有举一反三的效果。这就是所谓的“学活了”。“学活”与“学死”究竟如何理解,作为教师,我们如何将知识教“活”?我们从一个例子来分析——


我们经常听到一种说法,叫“学死了”,或者叫“学活了”。到底怎么样算“学死了”?怎么样又是“学活了”?今天以“植树问题”为例,说明这件事情。


“学死”:源于套路的僵硬

在数学学习中,前人概括了许多的公式或数量关系式,因此,数学学习便经常有些“套路”。“套路”上手快,不管为什么,不管来龙去脉,按“套路”走容易做对,容易拿分。老师们在讲这些“套路”时,经常会说一句话:“不要管它为什么,只记住,这样做就对了。”


学生在解决“植树问题”时,通常是按下列流程进行的:

1. 仔细读题,确定是植树问题。

2. 明确是植树问题三种情况中的哪种情况,写出相应的数量关系式。

3. 将数字代入关系式中,列出算式或方程。

4. 计算并写好答句。

这个解题流程,即我们所说的“套路”。这个“套路”的核心是三种不同情况的关系式:


两头种:距离÷ 间距+1= 棵数

两头不种:距离÷ 间距-1= 棵数

一头种一头不种:距离÷ 间距= 棵数


按照这个套路,学生面对“20米距离,5米种一棵树,共种几棵树?”这个题目时会不知所措。


为什么不知所措呢?因为这道题缺乏一个条件:是两头种?还是两头不种?还是一头种一头不种?


因为题目中没有写明白,所以学生不知道究竟该用哪个关系式,是加1?还是减1?或是不加不减?


试想,在具体生活中,谁会在布置种树任务时加一句:“注意,是两头都种啊!”


是两头种,还是两头不种,属于哪种情况,一定是在具体的环境中的具体应对。对于种树任务而言,大致要求就两个:一是要种多长(或多大)的场地,二是树的间距是多少。


但是,只看这两个条件,学生是无法解决这个问题的。大概这便是一种“学死”的状态吧。


这使我想到了我曾经学习开车时的一段经历。


“倒车入库”是学习开车、领取驾驶证的一项基本内容。


在学习“倒车入库”的时候,教练告诉我:你看车盖上有个白点,是教练特意粘上去的,当这个白点与××对齐时,方向盘就往左打死,然后回正……


我按照这个“法宝”拿到了驾驶证。但是领到驾驶证之后,自己是不敢开车的,生怕出事。为什么?因为离开了考场,车盖上既无白点,车外也无“某物”,方向盘往左打死的时机基本上无从把握。


所谓“学死”,大概面对的是标准的问题,应对的是标准的方法步骤。离开标准的问题,标准的方法步骤便失去了活力。


进一步讨论,现在我在“倒车入库”的时候凭的是什么?还是那套程序吗?显然不是,是自己的一种感觉,我们把这种感觉称为“车感”。这种“车感”肯定是“活”的状态,而每个人的“活”的状态都是从个人的实践中悟出来的。


有人会说,“学死”有什么关系呢?每一个开车的人最后不都“学活”了吗?这么说,听起来似乎十分有道理。事实上,开车这件事情,因为是生活必须,所以不得不开。在不得不开的过程中,每一个开车的人,慢慢地都有自己的琢磨而逐渐“活”过来了,这个“活”过来是由于“生活所迫”。


而植树问题,一旦“学死”了,学生便会因为混乱而害怕这类问题,逃避这类问题,最后逃避数学。这便是知识学习与生存学习的不同。


所以,那样的驾驶证学习,尽管不好但无须改善。而我们的知识学习,一定要考量,如何不把知识给“学死”。


“学活”:厘清知识的来龙去脉

为有源头活水来。


“植树问题”的源头活水是什么?这个源头活水是如何流进植树问题的?又是如何带着植树问题流向更宽广的问题解决的?我们用三次“学以致用”厘清这个问题的来龙去脉。


学用之一:平均分,种树种在点上的

1. 复习

材料:20米,5米分一段,共分几段?


序一:这个问题怎么解决?

20÷5


序二:为什么用除法解决,而非加法、减法、乘法?

5米一段,5米一段,这是在做一件平均分的事情,所以用除法。


序三:画成线段图是怎样的?



2. 新授

(1)种树种在点上的

材料一:20米,5米种一棵树,共种几棵树?


序一:这个问题怎么解决?

学生通常会争论,不知是4 还是3 或是5,主要是不确定属于三种情况中的哪一种,于是干脆说缺条件,这便是在外面培训班“学死”的结果。


序二:以材料一的线段图为例,讨论如何种树。


序三:三种种树方案,哪种方案符合20米,5米种一棵?

结论:种了15米,5米种一棵,不符合要求。

结论:种了20米,5米种一棵,符合要求。

结论:种了15米,5米种一棵,不符合要求。


小结:方案二符合要求,一共5棵,种树种在点上的。


(2)平均分的点数比段数多1

材料:① 20米,5米分一段,共分几段?

          ② 20米,5米种树一棵,共种几棵?


序一:这两个问题的相同点与不同点分别是什么?

相同:这两个问题本质上都是平均分的问题。

不同:问题①是平均分中的段数,问题②是平均分中的点数。


序二:一段几个点?两段几个点?三段几个点?

点数比段数多1(段数+1= 点数)


(3)植树问题的解决模型


序一:植树问题为什么用除法解决?

因为植树问题本质上是平均分的问题。


序二:植树问题为什么要在平均分的基础上+ 1 ?

因为植树是植在点上的,点数比段数多1。


【分析】至此,学生完成了第一次学以致用的经历。“学”的是二年级的平均分,“用”的是四年级的植树问题。植树问题是个生活问题,透过生活问题的表象,我们发现它本质上就是一个平均分的过程,平均分是数学对这类生活问题的把握——因为是平均分问题,所以用除法。


平均分问题带来两个元素,点与段。二年级的时候,点与段混淆在平均分中,没有区别;到了四年级,因为植树问题,点与段这两个元素从平均分问题中清晰起来,这个清晰的过程也是学生深化理解平均分的过程。


在第一次学以致用的过程中,形成如下板书:


学用之二:

点与段,还有哪些活也是干在点上的?

任务:刚才我们研究后发现,植树问题其实就是平均分问题,种树是种在点上的,请大家思考一下,这世界上除了树种在点上,还有什么活也是干在点上的?

生1:环卫工人在街上摆放垃圾箱。

生2:电力员工立电线杆。

生3:学校里插红旗,爬楼梯。

生4:排队伍,摆凳子,摆杯子,挂灯笼……

生5:高速公路上建服务区,地铁上建站。

生6:美国选总统。

……

【分析】这个问题的讨论,使学生们从这节课学的植树问题上拓展开,学的是植树,用的是摆垃圾桶、挂灯笼、建服务区等。从一个具体的植树问题到一类现象。通过这一次学以致用的体验,学生们发现,植树问题是一个十分普遍的问题,原来生活中有那么多事其实都是数学的平均分问题,都是“干”在点上的。


学用之三:细加减,具体问题具体办

任务一:今天我们要派出第1小组去植树,20米,5米种一棵,向老师领几棵树苗?第1小组同学到现场一看,发现这块场地上的一头被房子占了,怎么办?

生1:把房拆了。

生2:种房顶上。

生3:少种一棵。

结论:一个点被房占了,就少种一棵,还一棵树苗给老师—20÷5+1-1。


任务二:现在派出第2小组去植树,20米,5米种一棵,向老师领几棵树苗?第2小组同学到现场一看,发现这20 米正好在两幢房子中间,怎么办?

生:少种两棵。

结论:两端有房,说明占用了两个端点—20÷5+1-2。


任务三:现在派出第3小组去种树,20米,5米种树一棵,向老师领几棵树苗?他们到现场一看,大家猜,他们遇到什么情况?怎么办?

……


结论:不论什么情况,关键是看有几个点被占了,就减去几个点,具体问题具体对待,即灵活机动。


讨论:套路“死”的原因是什么

前面展示了两个教学版本,“套路”基本上就是套用数量关系式且有固定流程,没有经历过三次学以致用的过程。讲套路“死”的原因时,不由自主地想到说书人常用的一句话:且听我慢慢道来。


1. 植树问题的根源在平均分

从平均分开始说。


平均分是对生活原型的概括。平均分这种运算在数学里用除法表示。平均分有有余等分与无余等分两种,将平均分表示为线段模型,则有点和段两个元素。从问题解决的角度看,有余等分对应的问题解决,我们称为“余数问题”;无余等分对应的问题分为两部分:


第一部分是段的问题,如价格问题、行程问题、工程问题等,基本格式是:□ ÷ □;


第二部分是点的问题,如植树问题,基本格式是:□÷□+1 。


将这一段话连成树形图,是这样的,见图1。



从树形图上来看,植树问题并非什么难的问题,与价格问题、工程问题、行程问题是同一个水平的问题。现在我们的教材普遍因为植树问题难而弃植树问题于课外,或置植树问题于数学广角之中,正是因为没有理解植树问题的根源在于平均分。


2. 植树问题的基本法与变法

植树问题作为一类问题解决,有其较为固定的方法,我们称为基本法。其基本法作为运算可以描述为:□÷□+1。


但是在实际的劳动情境中,不同的情境要有不同的应对,比如:

一头有房就需要少一棵树,因为有一个点被房占了,得到下列运算:□÷□+1-1;

两头有房就需要少两棵树,因为有两个点被房占了,得到下列运算:□÷□+1-2。


由此可见,在现实生活中,不管遇到什么事,只要思考几个点被占了,或者说少了几个点,减几,就可以了。


一头有房与两头有房是我们列举的例子,实际情况并不止这两种,还有很多种。不管哪一种,万变不离其宗,只要思考少几个点即可。这样,学生在学习植树问题的时候就算学遍了,学遍了就会从容、淡定。


3. 熟能生巧后的技巧成了套路

植树问题的“理”是平均分。

植树问题的“法”有基本法与变法。

“理”是一以贯之的,“法”是千变万化的。


所有的“法”在实践一段时间后,学生大致都可以熟能生巧,总结出一些技巧,植树问题也是如此。方法用久了之后,总结出大致三种情况。



通过以上分析,我们基本明白了植树问题的来龙去脉:



套路的特点就是简单有效,将前人经历过的从理与法中提炼出来的技巧,当成教学的关键,省去了对理的感悟与对法的概括的思考过程,直接接受技巧。这种看似简单有效的教学割裂了知识间的来龙去脉,知识成了碎片,知识碎片越多,学生越容易忘记,这便是“学死”的原因。


正确的做法,将从原型到道理再到方法的过程,由老师陪着学生一起经历,将技巧的得到过程留给学生本人完成。因为技巧是个人化的,方法是可通用的,道理是一以贯之的,我们的学习不要局限于那些个人化的东西之上。


数学中类似的技巧教学

小学数学中,有许多类似的技巧教学,比如,看见“和”就用“+”,看见“每”就用“÷”,看见“共”就用“×”,看见“剩”就用“-”。


这是一二年级用“+、-、×、÷”解决问题时的技巧。


如果题目这样出:小明昨天剩2根,今天剩3根,一共剩几根?


学生就非常纠结,看见“共”要用“×”,看见“剩”要用“-”,题目好像用“+”,怎么办?


再如,列方程解决问题,学生经常不知道设谁为x,老师又教给学生一些技巧:求谁就设谁为x。当出现需要设中间量为x的时候,学生又不会了。


在数学里,这样的“窍门”太多了,我们经常把这些“窍门”当成好方法,结果学生越学越混乱,以致乱成一个死局。


知识“学死”与“学活”的原因应该有很多,本文只是提出了许多原因中的一个。个人认为这个原因带有普遍性,且十分重要。从技巧回到方法原理中,学习就会有味道,这就是种子课的意义。



文章来源 | 转自中国教师微信公众号

文章作者 | 俞正强

微信编辑 | 宋佳欣



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